Question

已知函数 (其中为常数且)在处取得极值.

(1)当时，求的极大值点和极小值点；

(2)若在上的最大值为1，求的值.

Answer

(1) 的极大值点为，极小值点为1.(2) 或..

【解析】试题分析：（1）对函数求导得到导函数，根据导函数的零点和导函数的正负得到函数的极值；（2）分， ， 三种请况分析函数的单调性和最值，分别求出参数值，和前者情况取交集即可。

解析：

(1)因为，所以.

因为函数在处取得极值，

，当时， ， ，

， 随的变化情况如下表：

1

+

0

-

0

+

↗

极大值

↘

极小值

↗

所以的单调递增区间为和，单调递减区间为.

所以的极大值点为，极小值点为1.

(2)因为.

令得， ，因为在处取得极值，所以，

(i)当时， 在上单调递增，在上单调递减，

所以在区间上的最大值为，令，解得.

(ii)当时， ，

①当时， 在上单调递增， 上单调递减， 上单调递增，

所以最大值1可能在或处取得，而，

所以，解得；

②当时， 在区间上单调递增， 上单调递增， 上单调递增，所以最大值1可能在或处取得，而，所以，解得，与矛盾；

③当时， 在区间上单调递增，在上单调递减，

所以最大值1可能在处取得，而，矛盾，

综上所述， 或.