Question

已知椭圆，，为椭圆的两个焦点，为椭圆上任意一点，且，构成等差数列，过椭圆焦点垂直于长轴的弦长为3.

(1)求椭圆的方程；

(2)若存在以原点为圆心的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，且，求出该圆的方程.

Answer

(1).(2) 见解析.

【解析】试题分析：（1）由题知得到，进而得到离心率，再根据三个参数的关系得到最终结果；（2）先由圆的切线的性质得到，再由垂直关系得到，联立直线和椭圆得到二次方程，由韦达定理得到进而证得结果。

解析：

(1)由题知，即，得①

又由，得②，且，综合解得.

∴椭圆的方程为.

(2)假设以原点为圆心，为半径的圆满足条件.

(i)若圆的切线的斜率存在，并设其方程为，则，①

由消去，整理得，设，，有

，又∵，∴，

即，化简得.②

由①②求得，所求圆的方程为.

(ii)若的斜率不存在，设，则，∵，

∴，有，，代入，得，此时仍有.

综上，总存在以原点为圆心的圆满足题设条件.