Question

已知 (，且为常数).

(1)求的单调区间；

(2)若在区间内，存在且时，使不等式成立，求的取值范围.

Answer

(1) 时， 单调递增区间为，单调递减区间为 时，函数单调递增区间为，单调递减区间为.(2)

【解析】试题分析：(1)求导，分类讨论可得到的单调区间；

(2)由(1)知， 在区间上单调递减，不妨设，则，∴不等式可化为，构造新函数

，则在区间上存在单调递减区间，可转化为

有解，即有解，令，讨论其性质可得，故.

试题解析：

(1)∵ (且为常数)，∴，∴①若时，当，

；当时， ，即时，函数单调递增区间为，单调递减区间为.

②若时，当， ；当时， ，即时，函数单调递增区间为，单调递减区间为.

(2)由(1)知， 在区间上单调递减，不妨设，则，∴不等式可化为，即，令，则在区间上存在单调递减区间，∴有解，即，∴有解，令，则，由得，当时， ， 单调递增；当时， ， 单调递减，∴，故.