Question

如图，在四棱椎中， 是棱上一点，且，底面是边长为2的正方形， 为正三角形，且平面平面，平面与棱交于点.

(1)求证：平面平面；

(2)求二面角的余弦值.

Answer

(1)见解析(2)

【解析】试题分析：(1)在正方形中， ，由面面垂直的性质定理可得，∴平面，又平面，∴，进而证得，又平面， ，

∴平面，∵平面，∴平面平面.

(2)取中点，以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，求出相关点的坐标，进而得到平面的一个法向量，平面的一个法向量.由空间的夹角公式可求两个向量的的夹角，又由题意可得二面角为钝角，即可得到二面角的余弦值.

试题解析：

(1)在正方形中， ，又平面平面，且平面平面，

∴平面，又平面，∴，∵底面是正方形，∴，

又平面， 平面，∴平面.

又四点共面，且平面平面，∴，∴，

又，∴为棱的中点， 是棱中点，

∵是正三角形，∴，又平面， ，

∴平面，∵平面，∴平面平面.

(2)取中点，以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则

， ， ， ， ， ， ， .

设平面的法向量为，则，∴， ， ，解得， ，令，则为平面的一个法向量，设平面的法向量为，则， ，

∴， ，得， ，令，则为平面的一个法向量.

∴，由图知二面角为钝角，

∴二面角的余弦值为.