Question

已知椭圆： 的上下两个焦点分别为，过点与轴垂直的直线交椭圆于两点， 的面积为，椭圆的离心率为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知为坐标原点，直线与轴交于点，与椭圆交于两个不同的点，若，求的取值范围．

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ） 或．

【解析】试题分析：（1）由椭圆的标准方程与几何意义，可利用三角形面积与离心率建立关于的方程，解得；（2）将直线方程与椭圆方程联立，消去，利用根与系数的关系，可得两点坐标间关系式，据，可得斜率与间关系，利用方程组有解，得出关于的不等式，解之得的取值范围．

试题解析：（Ⅰ）根据已知椭圆的焦距为，当时，，

由题意的面积为，

由已知得，∴，∴，

∴椭圆的标准方程为．

（Ⅱ）显然，设，，由得，

由已知得，即，

且，，

由，得，即，∴，

∴，即．

当时，不成立，∴，

∵，∴，即，

∴，解得或．

综上所述，的取值范围为或.