Question

在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线的极坐标方程为， 为曲线上异于极点的动点，点在射线上，且， ， 成等比数列.

（1）求点的轨迹的直角坐标方程；

（2）已知， 是曲线上的一点且横坐标为，直线与交于， 两点，试求的值.

Answer

(1) ;(2) .

【解析】试题分析：（Ⅰ）设， ，由成等比数列，可得，进而得，又满足，代入即可得解；

（Ⅱ）将直线的参数方程代入圆中得，由，结合韦达定理即可得解.

试题解析：

（1）设， ，

则由成等比数列，可得，

即， ．

又满足，即，

∴，

化为直角坐标方程为.

（Ⅱ）依题意可得，故，即直线倾斜角为，

∴直线的参数方程为

代入圆的直角坐标方程，

得，

故， ，

∴．