Question

已知函数有最大值， ，且是 的导数．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）证明：当， 时， ．

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析.

【解析】试题分析：（Ⅰ）函数求导，讨论函数单调性求最值即可；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知， ，求导得在上单调递增，由且得，由， 单调递增，要证，即，只要证，即，所以只要证，构造函数求导证明即可.

试题解析：

（Ⅰ）的定义域为， ．

当时， ，

在上为单调递增函数，无最大值，不合题意，舍去；

当时，令，得，

当时， ，函数单调递增；

当时， ，函数单调递减，

,

,

．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知， ,

．

， ,

在上单调递增．

又， 且,

．

,

当时， ， 单调递增,

要证，即，只要证，即．

， ,

所以只要证 ————（*）,

设 （其中）,

,

在（0，1）上为增函数,

，故（*）式成立，从而．