Question

选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数， 是大于0的常数）．以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．

（1）求圆的极坐标方程和圆的直角坐标方程；

（2）分别记直线： ， 与圆、圆的异于原点的焦点为， ，若圆与圆外切，试求实数的值及线段的长．

Answer

(1) ， (2) ，

【解析】试题分析：（1）先将圆的参数方程化为直角坐标方程，再利用可得圆的极坐标方程，两边同乘以利用互化公式 即可得圆的直角坐标方程；（2）由（1）知圆的圆心，半径；圆的圆心，半径， 圆与圆外切的性质列方程解得，分别将代入、的极坐标方程，利用极径的几何意义可得线段的长.

试题解析：（1）圆： （是参数）消去参数，

得其普通方程为，

将， 代入上式并化简，

得圆的极坐标方程，

由圆的极坐标方程，得．

将， ， 代入上式，

得圆的直角坐标方程为．

（2）由（1）知圆的圆心，半径；圆的圆心，半径，

，

∵圆与圆外切，

∴，解得，

即圆的极坐标方程为．

将代入，得，得；

将代入，得，得；

故．