Question

已知函数，其中为自然对数的底数.

（1）若函数在区间上是单调函数，试求实数的取值范围；

（2）已知函数，且，若函数在区间上恰有3个零点，求实数的取值范围．

Answer

(1) (2)

【解析】试题分析：（1）函数在区间上单调递增等价于在区间上恒成立，可得，函数在区间单调递减等价于在区间上恒成立，可得，综合两种情况可得结果；（2），由，知在区间内恰有一个零点，设该零点为，则在区间内不单调，所以在区间内存在零点，同理， 在区间内存在零点，所以只需在区间内恰有两个零点即可，利用导数研究函数的单调性，结合函数单调性讨论的零点，从而可得结果．

试题解析：（1），

当函数在区间上单调递增时， 在区间上恒成立，

∴（其中），解得；

当函数在区间单调递减时， 在区间上恒成立，

∴（其中），解得．

综上所述，实数的取值范围是．

（2）．

由，知在区间内恰有一个零点，

设该零点为，则在区间内不单调，

所以在区间内存在零点，

同理， 在区间内存在零点，

所以在区间内恰有两个零点．

由（1）知，当时， 在区间上单调递增，故在区间内至多有一个零点，不合题意．

当时， 在区间上单调递减，

故在内至多有一个零点，不合题意；

所以．

令，得，

所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．

记的两个零点为， （），

因此， ，必有， ．

由，得，

所以，

又， ，

所以．

综上所述，实数的取值范围为．