Question

在四棱柱中，底面是正方形，且， ．

（1）求证： ；

（2）若动点在棱上，试确定点的位置，使得直线与平面所成角的正弦值为．

Answer

(1)见解析(2)

【解析】试题分析：（1）连接， ， ， 与的交点为，连接，则，由正方形的性质可得，从而得平面， ，

又，所以；（2）由勾股定理可得，由（1）得所以底面，所以、、两两垂直．以点为坐标原点， 的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，设（），求得，利用向量垂直数量积为零可得平面的一个法向量为，利用空间向量夹角余弦公式列方程可解得，从而可得结果.

试题解析：（1）连接， ， ，

因为， ，

所以和均为正三角形，

于是．

设与的交点为，连接，则，

又四边形是正方形，所以，

而，所以平面．

又平面，所以，

又，所以．

（2）由，及，知，

于是，从而，

结合， ，得底面，

所以、、两两垂直．

如图，以点为坐标原点， 的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，

则， ， ， ， ， ，

， ，

由，易求得．

设（），

则，即，

所以．

设平面的一个法向量为，

由得令，得，

设直线与平面所成角为，则

，

解得或（舍去），

所以当为的中点时，直线与平面所成角的正弦值为．

【方法点晴】本题主要考查利用线面垂直证明线线垂直以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.