Question

已知两个定点，动点满足.设动点的轨迹为曲线，直线.

（1）求曲线的轨迹方程；

（2）若与曲线交于不同的两点，且（为坐标原点），求直线的斜率；

（3）若是直线上的动点，过作曲线的两条切线，切点为，探究：直线是否过定点.

Answer

（1）（2）（3）线过定点

【解析】试题分析：（1）设点坐标为，由，得：

整理即可得轨迹方程；（2）依题意圆心到直线的距离即可解得直线的斜率；（3）由题意可知： 四点共圆且在以为直径的圆上，设，其方程为，即： ，又在曲线上， ，即，由可解得定点坐标.

试题解析：

（1）设点坐标为

由，得：

整理得：曲线的轨迹方程为

（2）依题意圆心到直线的距离，

.

（3）由题意可知： 四点共圆且在以为直径的圆上，设，

其方程为，即：

又在曲线上，

，

即，由得，

直线过定点.