Question

已知f(x)为定义在R上的偶函数，当x≥0时，有f(x＋1)＝－f(x)，且当x∈[0,1)时，f(x)＝log₂(x＋1)，给出下列命题

①f(2014)＋f(－2015)＝0；

②函数f(x)在定义域上是周期为2的函数；

③直线y＝x与函数f(x)的图象有2个交点；

④函数f(x)的值域为(－1,1)．

其中正确的是(　　)

A. ①②    B. ②③

C. ①④    D. ①②③④

Answer

C

【解析】由于当x≥0时，有f(x＋1)＝－f(x)，所以f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，

从而当x∈[1,2)时，x－1∈[0,1)，有f(x－1)＝log2x，

又f((x－1)＋1)＝－f(x－1)⇒f(x－1)＝－f(x)＝log2x⇒f(x)＝－log2x

即f(x)＝；

再注意f(x)为定义在R上的偶函数，所以可作出函数f(x)的图象如下：

对于①f(2014)＋f(－2015)＝f(2×1007＋0)＋f(2015)

＝f(0)＋f(2×1007＋1)＝0＋f(1)＝－log21＝0，故①正确；排除B；

对于②由图象可知函数不是周期函数，故②是错误的；排除A、D；

对于③由图象可知直线y＝x与函数f(x)的图象只有1个交点，故③错误；

对于④由图象可知函数的值域为(－1,1)，故④正确．

故选C.