Question

如图，在中， ，四边形是边长为的正方形，平面平面，若， 分别是的中点.

（1）求证： 平面;

（2）求证：平面平面;

（3）求几何体的体和.

Answer

（1）详见解析(2)详见解析（2）

【解析】试题分析：（1）如图，连接EA交BD于F，利用正方形的性质、三角形的中位线定理、线面平行的判定定理即可证明．（2）利用已知可得：FG⊥平面EBC，可得∠FBG就是线BD与平面EBC所成的角．经过计算即可得出．（3）利用VEFBC=VFEBC=S△EBC•FG即可得出．

试题解析：

（1）如图，连接，易知为的中点.

因为， 分别是和的中点，

所以，

因为平面，

平面，

所以平面.

（2）证明：因为四边形为正方形，

所以.

又因为平面平面，

所以平面.所以.

又因为，所以.

所以平面.从而平面平面.

（3）如（1）证法二中的图，连接，因为，

所以，且.

又平面平面，

所以平面.

因为是四棱锥，

所以.

即几何体的体积.