Question

已知函数

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）证明当时，关于的不等式恒成立；

Answer

（1）见解析；（2）见解析.

【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）令，求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出函数的最大值，从而证出结论即可；

解析：

（1），

由f'（x）＜0，得2x2﹣x﹣1＞0．又x＞0，所以x＞1，

所以f（x）的单调递减区间为（1，+∞），函数f（x）的单增区间为（0，1）．

（2）令，

所以，

因为a≥2，所以，

令g'（x）=0，得，所以当，当时，g'（x）＜0，

因此函数g（x）在是增函数，在是减函数，

故函数g（x）的最大值为，

令，因为，又因为h（a）在a∈（0，+∞）是减函数，

所以当a≥2时，h（a）＜0，即对于任意正数x总有g（x）＜0，

所以关于x的不等式恒成立．