Question

已知椭圆C： （＞b＞0）的左、右顶点分别为A₁、A₂，上、下顶点分别为B₂、B₁，O为坐标原点，四边形A₁B₁A₂B₂的面积为4，且该四边形内切圆的方程为．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若M、N是椭圆C上的两个不同的动点，直线OM、ON的斜率之积等于，试探求△OMN的面积是否为定值，并说明理由．

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析.

【解析】试题分析：（Ⅰ）先利用四边形的面积求得，再利用直线和圆相切进行求解；（Ⅱ）设出直线方程，联立直线和椭圆的方程，得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系、直线的斜率公式和三角形的面积公式进行求解.

试题解析：（Ⅰ）∵四边形A1B1A2B2的面积为4，又可知四边形A1B1A2B2为菱形，

∴，即ab=2①

由题意可得直线A2B2方程为：，即bx+ay﹣ab=0，

∵四边形A1B1A2B2内切圆方程为，

∴圆心O到直线A2B2的距离为，即②

由①②解得：a=2，b=1，∴椭圆C的方程为：

（Ⅱ）若直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为y=kx+m，M（x1，y1），N（x2，y2），

由得：（1+4k2）x2+8mkx+4（m2﹣1）=0∵直线l与椭圆C相交于M，N两个不同的点，

∴△=64m2k2﹣16（1+4k2）（m2﹣1）＞0得：1+4k2﹣m2＞0③

由韦达定理：

∵直线OM，ON的斜率之积等于，

∴，

∴，

∴2m2=4k2+1满足③…（9分）

∴，

又O到直线MN的距离为，，

所以△OMN的面积

若直线MN的斜率不存在，M，N关于x轴对称

设M（x1，y1），N（x1，﹣y1），则，，

又∵M在椭圆上，，∴，

所以△OMN的面积S===1．

综上可知，△OMN的面积为定值1.