Question

已知函数

（Ⅰ）若，求证：函数在（1，+∞）上是增函数；

（Ⅱ）求函数在[1，e]上的最小值及相应的值.

Answer

（Ⅰ）函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；（Ⅱ）见解析.

【解析】试题分析：（Ⅰ）代入，求导，通过导数恒为正值进行证明；（Ⅱ）求导，通过讨论参数的取值，研究函数的极值点与所给区间的关系，进而研究函数在所给区间上的单调性和极值、最值进行求解.

试题解析：（Ⅰ）当a=﹣2时，f（x）=x2﹣2lnx，当x∈（1，+∞），，故函数f（x）在（1，+∞）上是增函数．

（Ⅱ），当x∈[1，e]，2x2+a∈[a+2，a+2e2]．

若a≥﹣2，f'（x）在[1，e]上非负（仅当a=﹣2，x=1时，f'（x）=0），

故函数f（x）在[1，e]上是增函数，此时[f（x）]min=f（1）=1．

若﹣2e2＜a＜﹣2，当时，f'（x）=0；当时，f'（x）＜0，

此时f（x）是减函数；当时，f'（x）＞0，此时f（x）是增函数．

故[f（x）]min==

若a≤﹣2e2，f'（x）在[1，e]上非正（仅当a=﹣2e2，x=e时，f'（x）=0），

故函数f（x）在[1，e]上是减函数，此时[f（x）]min=f（e）=a+e2．

综上可知，当a≥﹣2时，f（x）的最小值为1，相应的x值为1；

当﹣2e2＜a＜﹣2时，f（x）的最小值为，相应的x值为；

当a≤﹣2e2时，f（x）的最小值为a+e2，相应的x值为e