Question

已知函数.

(1)证明有且只有一个零点；

(2)求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不大于.

Answer

略

【解析】(1)证明：易知f(x)＝lnx＋2x−6在(0，＋∞)上是增函数，

∴f(x)至多有一个零点．由于f(2)＝ln2−2<0，f(3)＝ln3>0，

∴f(2)·f(3)<0. ∴f(x)在(2，3)内有一个零点．∴f(x)在(0，＋∞)上只有一个零点．

(2)由(1)知f(2)<0，f(3)>0，取，，

∴.∴的零点．取，

则.

∴.∴．

∵，∴满足题意的区间为．