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已知函数. (1)若在区间有最大值,求整数的所有可能取值; (2)求证:当时, ...

已知函数.

(1)若在区间有最大值,求整数的所有可能取值;

(2)求证:当时, .

 

(1) ;(2)证明见解析. 【解析】试题分析:(1)在区间有最大值,即是在区间有极大值,求出,求出极大值点 ,令 ,从而可得结果;(2)等价于,只需证明即可. 试题解析:(1)f′(x)=(x2+x-2)ex, 当x<-2时,f′(x)>0,f(x)单调递增, 当-2<x<1时,f′(x)<0,f(x)单调递减, 当x>1时,f′(x)>0,f(x)单调递增, 由题知:a<-2<a+5,得:-7<a<-2, 则a=-6、-5、-4、-3, 当a=-6、-5、-4,显然符合题意, 若a=-3时,f(-2)=5e―2,f(2)=e2,f(-2)<f(2),不符合题意,舍去. 故整数a的所有可能取值-6,―5,-4. (2)f(x)<-3lnx+x3+(2x2-4x)ex+7可变为(-x2+3x-1)ex<-3lnx+x3+7, 令g(x)=(-x2+3x-1)ex,h(x)=-3lnx+x3+7, g′(x)=(-x2+x+2)ex, 0<x<2时,g′(x)>0,g(x)单调递增, 当x>2时,g′(x)<0,g(x)单调递减, g(x)的最大值为g(2)=e2, h′(x)=,当0<x<1时,h′(x)<0,h(x)单调递减, 当x>1时,h′(x)>0,h(x)单调递增, h(x)的最小值为h(1)=8>e2, g(x)的最大值小于h(x)的最小值, 故恒有g(x)<h(x),即f(x)<-3lnx+x3+(2x2-4x)ex+7.  
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考点分析:
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(1)求被调查者满意或非常满意该项目的频率;

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(3)已知在评分低于60分的被调查者中,老年人占,现从评分低于60分的被调查者中按年龄分层抽取9人以便了解不满意的原因,并从中选取2人担任群众督察员,记为群众督查员中老年人的人数,求随机变量的分布列及其数学期望.

 

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