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多面体, , , , , , , 在平面上的射影是线段的中点. (1)求证:平面...

多面体 在平面上的射影是线段的中点.

(1)求证:平面平面

(2)若,求二面角的余弦值.

 

(1)证明见解析;(2). 【解析】 试题分析:(1)过E作EO//A1A交AB于O,连接CO,先证明四边形OEC1C是平行四边形,可得C1E//CO,由C1E⊥面ABB1A1,得CO⊥面ABB1A1,进而可得结论;(2)以点O为坐标原点以 为轴建立空间直角坐标系,分别求出平面AB1C1的法向量与平面A1B1BA的法向量,利用空间向量夹角余弦公式可得结果. 试题解析:(1)证明:过E作EO//A1A交AB于O,连接CO, 由梯形的中位线知: , ∴OE=CC1,又OE//CC1, 故四边形OEC1C是平行四边形, ∴C1E⊥面ABB1A1,则CO⊥面ABB1A1, 又CO在面ABC内, ∴面ABC⊥面ABB1A1; (2)如图以点O为坐标原点建立空间直角坐标系, CO=C1E=2, , , , ∴, , 设面AB1C1的法向量为, 依题知: ,即, 令a=1,得b=-2,c=2,∴,底面A1B1BA的法向量为, ∴. ∴二面角C1-AB1-A1的余弦值为. 【方法点晴】本题主要考查线面垂直、面面垂直的判定,利用空间向量求二面角,属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是:(1)观察图形,建立恰当的空间直角坐标系;(2)写出相应点的坐标,求出相应直线的方向向量;(3)设出相应平面的法向量,利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量;(4)将空间位置关系转化为向量关系(5)根据定理结论求出相应的角和距离.  
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考点分析:
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2016年某市政府出台了“2020年创建全国文明城市(简称创文)”的具体规划,今日,作为“创文”项目之一的“市区公交站点的重新布局及建设”基本完成,市有关部门准备对项目进行调查,并根据调查结果决定是否验收,调查人员分别在市区的各公交站点随机抽取若干市民对该项目进行评分,并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图,相关规则为:①调查对象为本市市民,被调查者各自独立评分;②采用百分制评分, 内认定为满意,80分及以上认定为非常满意;③市民对公交站点布局的满意率不低于60%即可进行验收;④用样本的频率代替概率.

(1)求被调查者满意或非常满意该项目的频率;

(2)若从该市的全体市民中随机抽取3人,试估计恰有2人非常满意该项目的概率;

(3)已知在评分低于60分的被调查者中,老年人占,现从评分低于60分的被调查者中按年龄分层抽取9人以便了解不满意的原因,并从中选取2人担任群众督察员,记为群众督查员中老年人的人数,求随机变量的分布列及其数学期望.

 

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已知函数的部分图像如图所示.

(1)求的解析式;

(2)方程上的两解分别为,求 的值.

 

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定义函数 ,若存在实数使得方程无实数根,则实数的取值范围是__________

 

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已知数列中, ,若数列单调递增,则实数的取值范围为__________

 

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满足约束条件,则的最大值为__________

 

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