Question

设是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有，当时，

（1）求证： 是周期函数；

（2）当时，求的解析式；

（3）计算

Answer

（1）证明见解析；（2）；（3）.

【解析】试题分析：（1）根据条件利用是定义在上的奇函数， ，可得，从而证得结论；（2）利用函数的奇偶性和周期性，求得当时，函数的解析式；（3）利用周期为以及的值，可得的值.

试题解析：（1）证明：∵，∴.∴是周期为4的周期函数.

（2）∵，∴，∴，

∴，∴，

又，∴，即

（3）∵

又是周期为4的周期函数，

【方法点晴】本题主要考查函数的解析式及函数的周期性，属于难题.对函数周期性的考查主要命题方向由两个，一是三角函数，可以用公式求出周期；二是抽象函数，往往需要根据条件判断出周期，抽象函数给出条件判断周期的常见形式为:

(1) ；（2）；

（3） .