Question

已知函数．

（1）若，求在处的切线方程；

（2）若在区间上恰有两个零点，求的取值范围．

Answer

（1）；（2）.

【解析】试题分析：（1）求出，利用导数的几何意义求切线斜率为，根据点斜式可得切线方程；（2）利用导数求出函数的极大值和极小值，利用在区间上恰有两个零点列不等式组，求解不等式组即可求的取值范围.

试题解析：（1）由已知得,

若时，有， ,

∴在处的切线方程为： ，化简得.

（2）由（1）知，

因为且，令，得

所以当时，有，则是函数的单调递减区间；、

当时，有，则是函数的单调递增区间． 9分

若在区间上恰有两个零点，只需，即,

所以当时， 在区间上恰有两个零点.

【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线以及利用导数研究函数零点问题，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点 出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.