Question

已知函数.

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)讨论函数的单调性；

(3)若函数在处取得极小值，设此时函数的极大值为，证明：.

Answer

（1）；（2）当时，在上递减；当时，的减区间为，，增区间为；当时，的减区间为，，增区间为；（3）见解答过程。

【解析】试题分析：（1）先依据题设条件对函数求导，借助导数几何意义求出切线的斜率，运用直线的点斜式方程求解；（2）先对函数然后再运用分类整合思想探求函数的单调区间；（3）借助（2）的结论，确定函数在处取得极小值时在处取得极大值，然后得到，运用导数可知其在在上递减，从而得到，即。

【解析】
(1)当时，，故.

又，则.

故所求切线方程为.

(2)∵

，

∴当时，，故在上递减.

当时，，；，，

故的减区间为，，增区间为，

当时，，；，，

故的减区间为，，增区间为.

综上所述，当时，在上递减；

当时，的减区间为，，增区间为；

当时，的减区间为，，增区间为.

(3)依据(2)可知函数在处取得极小值时，，

故函数在处取得极大值，即，

故当时，，即在上递减，

所以，即.