Question

已知椭圆的两个焦点分别为,以椭圆短轴为直径的圆经过点.

(1)求椭圆的方程;

(2)过点的直线与椭圆相交于两点,设点,直线的斜率分别为,问是否为定值?并证明你的结论.

Answer

(1)；(2)为定值.

【解析】试题分析：(1)由焦点坐标可得，又以椭圆短轴为直径的圆经过点可得，所以可求出，从而得到椭圆方程；(2)当的斜率不存在时，求出点的坐标，再计算，当存在斜率时，设直线的方程为，与椭圆方程联立，由韦达定理得到，,计算即可.

试题解析： （1）依题意，由已知得，，由已知易得，解得，

则椭圆的方程为.

（2）①当直线的斜率不存在时，由，解得.

设，则为定值.

②当直线的斜率存在时，设直线的方程为.

将代入整理化简，得.

依题意，直线与椭圆必相交于两点，设，

则，，又，

所以

综上得为定值2.