Question

已知函数．

（Ⅰ）若函数在处的切线平行于直线，求实数a的值；

（Ⅱ）判断函数在区间上零点的个数；

（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若在上存在一点，使得成立，求实数的取值范围．

Answer

（1）（2）时， 在无零点； 时， 在恰有一个零点； 时， 在有两个零点（3）或

【解析】试题分析：（1）利用导数的几何意义，得， ；（2）函数的零点个数等价于两个函数的交点的个数，即与的交点个数；（3）不等式能成立问题转化为函数的最值问题.

试题解析：

（Ⅰ）,函数在处的切线平行于直线

..

（Ⅱ）令 ， 得

记 ， 由此可知

在上递减，在上递增，

且 时

故时， 在无零点

时， 在恰有一个零点

时， 在有两个零点

（Ⅲ）在上存在一点,使得成立等价于函数在上的最小值小于零.

,

①当时,即时, 在上单调递减,所以的最小值为,由可得,；

②当时,即时, 在上单调递增,所以的最小值为,由可得；

③当时,即时,可得的最小值为此时, 不成立.

综上所述:可得所求的范围是或