Question

已知正项等比数列满足成等差数列，且．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，求数列的前n项和．

Answer

（Ⅰ）; （Ⅱ）.

【解析】试题分析：

（Ⅰ）已知数列是等比数列，本题可以用基本量法求通项公式，即把已知用首项和公比表示并解出，从而得通项公式，也要用等比数列的性质，直接求出公比， ，从而，再去求首项即可；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，利用错位相减法可求得其前项和．

试题解析：

（Ⅰ）设正项等比数列的公比为（），

由 ，故，解得，

因为，所以．

又因为， ， 成等差数列，所以，

解得，

所以数列的通项公式为 .

（Ⅱ）依题意得，则

，①

，②

由②①得 ，

所以数列的前项和．

点睛：当数列是一个等差数列与等比数列相乘所形成的数列时，可以用错位相减法求和，具体方法就是写出和式： ，然后在此式两边乘以公比得： ，注意错位后两式相减，求得，此式右边中间是一个等比数列的和（要注意项数），从而可得．这种方法，实质上我们在求等比数列的前项和时也用到过．根据数列的特征，求数列和的方法还有公式法、分组求和法、裂项相消法、倒序相加法等．