Question

（本题满分14分）已知函数。

（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求实数的值；

（2）若恒成立，求实数的取值范围；

（3）证明：

Answer

（1）（2）（3）证明见解析

【解析】试题分析：：利用导数的几何意义求曲线在点处的切线方程，注意这个点的切点.（2）对于恒成立的问题，常用到以下两个结论：（1），（2）

（3）证明不等式，注意应用前几问的结论.

试题解析：（1）函数的定义域为，

所以

又切线与直线垂直，

从而， 解得 ,

（2）若，则则在上是增函数

而不成立，故

若，则当时， ；当时， 所以在上是增函数，在上是减函数,

所以的最大值为

要使恒成立，只需，解得

（3）由（2）知，当时，有在上恒成立，且在上是增函数， 所以在上恒成立 .

令，则

令则有

以上各式两边分别相加，得

即故

考点：（1）求切线方程；（2）函数在闭区间上恒成立的问题；（3）不等式证明.