Question

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆： 的左，右焦点分别为， .点是椭圆在轴上方的动点，且△的周长为16.  

（1）求椭圆的方程；

（2）设点到△三边的距离均相等.

①当时，求点的坐标；

②求证：点在定椭圆上.

Answer

(1) ；（2）①；②证明见解析.

【解析】试题分析：（1）由题意可得的值，再由隐含条件求得，则椭圆方程可求；（2）①求出点坐标，设出的坐标，结合点到三边的距离均相等列方程组求得点的坐标；②根据三角形面积以及椭圆的定义列方程组，可得， ，代入椭圆方程可得， 所以点在定椭圆上.

试题解析：（1）依题意， ， ，所以，从而， 故椭圆方程为，（2）①当时， ， 则直线的方程为： ，直线的方程为： ，

所以，且，其中，解得， ，所以点的坐标为；

②设，则点到△三边的距离均为，由，

得，其中，所以，则直线的方程为： ，即， 所以，且， 且， 化简得， ，解得，

将， 代入，得， 所以点在定椭圆上.

【方法点晴】本题主要考查待定系数求椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系，属于难题.用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在轴上，还是在轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程或 ；③找关系：根据已知条件，建立关于、、的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.