Question

如图示，P是以AB为直径的圆的下半圆弧上的一动点（异于A、B两点），、分别为、在过点P的直线上的射影（、在直线的上方），记， ，向量∥直线。

（1）若，求面积的最大值及取得最大值时的值；

（2）若，用表示向量、在向量方向上的投影之和的绝对值，试问、满足什么条件时， 有最大值？

（3）若， ， ，求的值。

Answer

(1) 时， ；（2）时， 的最大值等于2 ；（3）4

【解析】试题分析：（1）先由直径所对的圆周角为直角得到三角形的形状，再利用三角函数的定义和面积公式进行求解；（2）利用平面向量的数量积的几何意义进行求解；（3）先由直角三角形中的三角函数定义求得相关边长，再由三角恒等变换进行求解.

试题解析：(1)由AB为直径得圆周角，

，

，

所以当，即时， 。

（2）由与相似得，又，

所以

所以当时， 的最大值等于2

（法二）显然也等于向量在向量方向上的投影

所以

当即向量共线且同向时， 有最大值2，此时

（3）由相似三角形得，由直角三形得，

所以

=4