Question

选修4-4：坐标系与参数方程

在极坐标系中，圆的极坐标方程为.若以极点为原点，极轴所在直线为轴建立平面直角坐标系.

（Ⅰ）求圆的参数方程；

（Ⅱ）在直角坐标系中，点是圆上动点，试求的最大值，并求出此时点的直角坐标.

Answer

（1）为参数（2）

【解析】试题分析：（Ⅰ）利用极坐标与直角坐标互化公式可得直角坐标方程，再利用同角三角函数的平方关系可得圆 的参数方程．
（Ⅱ）解法一：设，得代入

整理得，令。则问题得解

解法二：由（Ⅰ）可得，设点 可得，可得 ，再利用三角函数的单调性与值域即可得出最大值．

试题解析：（Ⅰ）因为，所以，

即为圆C的普通方程．

所以所求的圆C的参数方程为(为参数)

（Ⅱ） 解法一：设，得代入整理得

(*)，则关于方程必有实数根

∴，化简得

解得，即的最大值为11.

将代入方程(*)得，解得，代入得

故的最大值为11时，点的直角坐标为.

解法二：由（Ⅰ）可得，设点,

,

其中，，当时，，

此时，,即，所以，

点的直角坐标为.