Question

已知函数， .

（Ⅰ）证明： ，直线都不是曲线的切线；

（Ⅱ）若，使成立，求实数的取值范围.

Answer

（Ⅰ）见解析; （Ⅱ）.

【解析】试题分析：（Ⅰ）设出切点，分别用函数的导数值和直线的两点表示斜率，得方程，发现方程的解为，与定义域矛盾；

（Ⅱ）原问题转化为，令， , 则，使成立，讨论函数的最小值即可.

试题解析：

（Ⅰ）的定义域为， ，直线过定点，

若直线与曲线相切于点（且），则 ，即

，①

设， ，则，所以在上单调递增，又，从而当且仅当时，①成立，这与矛盾.

所以， ，直线都不是曲线的切线；

（Ⅱ）即，令， ，

则，使成立，

，

（1）当时， ， 在上为减函数，于是 ，

由得，满足，所以符合题意；

（2）当时，由及的单调性知 在上为增函数，所以，即，

①若，即，则，所以在上为增函数，于是

，不合题意；

②若，即则由， 及的单调性知存在唯一，使，且当时， ， 为减函数；当时， ， 为增函数；

所以 ，由得 ，这与矛盾，不合题意.

综上可知， 的取值范围是.

【方法点睛】利用导数解决不等式有解问题的“两种”常用方法

(1)分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地， 恒成立，只需即可； 恒成立，只需即可.(2)函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.