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已知直线x-2y+2=0与圆C:x2+y2-4y+m=0相交,截得的弦长为. (...

已知直线x-2y+2=0与圆C:x2+y2-4y+m=0相交,截得的弦长为.

(1) 求圆C的方程;

(2) 过原点O作圆C的两条切线,与抛物线y=x2相交于M,N两点(异于原点).求证:直线MN与圆C相切.

 

(1) x2+(y-2)2=1.(2) 见解析. 【解析】试题分析: (1)利用弦长公式求得r=1,则圆的方程为x2+(y-2)2=1 (2)利用题意求得圆心到直线的距离等于半径,则直线与圆相切. 试题解析: (1) 【解析】 ∵ C(0,2),∴ 圆心C到直线x-2y+2=0的距离为d==. ∵ 截得的弦长为, ∴ r2=+=1, ∴ 圆C的方程为x2+(y-2)2=1. (2) 证明:设过原点的切线方程为y=kx,即kx-y=0,∴=1,解得k=±, ∴ 过原点的切线方程为y=±x. 不妨设y=x与抛物线的交点为M,则 解得M(,3),同理可求得N(-,3), ∴ 直线MN:y=3. ∵ 圆心C(0,2)到直线MN的距离为1且r=1,  
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