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已知函数. (Ⅰ)当时,求函数的点处的切线方程; (Ⅱ)设,若函数在定义域内存在...

已知函数

)当时,求函数的点处的切线方程;

)设,若函数在定义域内存在两个零点,求实数的取值范围.

 

(Ⅰ);(Ⅱ). 【解析】试题分析:(Ⅰ)当时, ,根据导数的几何意义求出切线的斜率,即可求得切线方程;(Ⅱ)函数在定义域内存在两个零点,整理可得在有两个零点,构造函数,讨论其单调性,求得其极值,列出不等式即得实数的取值范围. 试题解析:(Ⅰ) 的定义域为,∵, ∴,∴,∴, 所以函数在点处的切线方程为 (Ⅱ)在定义域内存在两个零点,即在有两个零点. 令 ⅰ.当时, ,∴在上单调递增 由零点存在定理, 在至多一个零点,与题设发生矛盾. ⅱ.当时, 则 因为,当, ,所以要使在内有两个零点,则即可,得,又因为,所以 考点:导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性、极值,函数的零点. 【方法点睛】本题主要考查了导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性、极值,函数的零点问题,考查了分类讨论的数学思想,属于中档题.求函数图象在某点的切线关键是把握好函数在某点的导数就是切线的斜率,要研究函数零点的个数,往往需要研究函数的单调性和极值,本题中通过讨论导函数的零点与区间的关系,确定函数的单调性,求出极值,列出满足条件的不等式,解不等式即得的范围.  
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