Question

已知椭圆的离心率，左顶点为.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知为坐标原点， 是椭圆上的两点，连接的直线平行交轴于点，证明： 成等比数列.

Answer

（1）；（2）详见解析.

【解析】【试题分析】（1）依据题设条件建立方程进行求解；（2）借助题设条件建立直线的方程，再与椭圆方程联立，运用坐标之间的关系分析推证：

（Ⅰ）由， 得，

故椭圆的方程为.

（Ⅱ）设， ， ，则，

将代入，整理得
，
，得，
，

，

．
将代入，整理得 ，
得， ．
故，
所以， 成等比数列．

【试题分析】椭圆是圆锥曲线的代表之一，也是中学数学中的重要知识点和考点。求解本题的第一问时，直接依据题设建立方程组进行求解，从而使得问题获解；解答第二问时，先建立直线的方程，后借助交点的坐标之间的关系及两点间距离公式分析推证，进而使得问题获证。