Question

在如图所示的多面体中， 平面， ．

（1）在上求作点，使平面，请写出作法并说明理由；

（2）求三棱锥的高．

Answer

（1）详见解析（2）.

【解析】试题分析：（1）由题意,因此只需,就可推出平面，而延长线与交点恰为的中点因此作法为先取的中点，再连结，交于.证法为先由线线平行证得线面平行，再由线面平行证得面面平行，最后由面面平行证得线面平行.（2）求三棱锥的高，可由等体积法求得：因为，而平面，所以，这样只需求出两个三角形面积，代入化简即得三棱锥的高.

试题分析：【解析】
（1）取的中点，连结，交于，连结.此时为所求作的点.

下面给出证明：

∵，∴，又，∴四边形是平行四边形，

故即.

又平面平面，∴平面；

∵平面， 平面，∴平面.

又∵平面平面，

∴平面平面，

又∵平面，∴平面.

（2）在等腰梯形中，∵，

∴可求得梯形的高为，从而的面积为.

∵平面，∴是三棱锥的高.

设三棱锥的高为.

由，可得，

即，解得，

故三棱锥的高为.