Question

【2017江西师范大学附属中学三模】已知函数是自然对数的底数).

(1)求函数的单调区间;

(2)若,当时,求函数的最大值;

(3)若且,求证: .

Answer

（1）在上单调递增,在上单调递减.

（2）（3）见解析

【解析】试题分析：(1) 求出， 得增区间， 得减区间；(2)利用导数研究函数的单调性即可求函数的最大值；（3）化简已知得, 即，然后利用分析法证明原不等式.

试题解析: (1) 的定义域为,且,

令,

在上单调递增,在上单调递减.

(2) ,

,

当时, ,,

当时, ,

在上单调递增,在上单调递减.

.

(3) , 即.

由(1)知 在上单调递增,在上单调递减,且,

则

要证,即证,即证,即证,

即证,由于,即证.

令

恒成立

在递增, 在恒成立,

原不等式成立.

【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值、不等式的恒成立，属于难题．利用导数研究函数的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数的定义域；②对求导；③令，解不等式得的范围就是递增区间；令，解不等式得的范围就是递减区间；④根据单调性求函数的极值及最值（闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小）.