Question

【2017锦州质量检测（二）】已知， 是双曲线（， ）的左、右焦点，点关于渐近线的对称点恰好落在以为圆心， 为半径的圆上，则该双曲线的离心率为（   ）

A.     B.     C.     D.

Answer

C

【解析】由题意,F1(−c,0),F2(c,0)，

设一条渐近线方程为y=−x,则F1到渐近线的距离为.

设F1关于渐近线的对称点为M,F1M与渐近线交于A,∴|MF1|=2b,A为F1M的中点，

又0是F1F2的中点,∴OA∥F2M,∴∠F1MF2为直角，

∴△MF1F2为直角三角形，

∴由勾股定理得4c2=c2+4b2

∴3c2=4(c2−a2),∴c2=4a2，

∴c=2a，∴e=2.

故选：C.

点睛：平面解析几何小题常用的处理方法为数形结合，根据题中的条件在图中找到相应的几何关系，一般有：中位线定理，相似比，直角三角形的勾股定理，切线长定理，平行四边形等，根据几何关系建立代数式即可求解.