Question

在各项都不相等的等差数列{a_n}中，a₁，a₂是关于x的方程x²－7a₄x＋18a₃＝0的两个实根．

(1) 试判断－22是否在数列{a_n}中；

(2) 求数列{a_n}的前n项和S_n的最大值．

Answer

（1）－22不在数列{an}中；（2）30.

【解析】试题分析：（1）由题意得到，，设等差数列{an}的公差为d（d≠0），化为关于a1和d的方程组求得首项和公差，求得通项公式，即可判断-22不是数列{an}中的项；
（2）写出等差数列的前n项和，利用二次函数求得数列{an}的前n项和Sn的最大值．

试题解析：

(1) 依题意，得

即

即

解得或

因为数列{an}中各项都不相等，所以d≠0，所以不符舍去，因此故an＝a1＋(n－1)d＝15－3n.

令15－3n＝－22，解得n＝.

因为不是正整数，所以－22不在数列{an}中．

(2) 由(1)知an＝15－3n，令

即解得4≤n≤5，

所以n＝4或5时，Sn取最大值＝30.