Question

已知抛物线的方程为，直线l过定点，斜率为k．当k为何值时，直线l与该抛物线：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？

Answer

当， 或，此时直线l与该抛物线只有一个公共点；当，此时直线l与该抛物线有两个公共点；当或，此时直线l与该抛物线没有公共点．

【解析】试题分析：解题思路：联立直线方程与抛物线方程，得到关于的一元二次方程，利用判别式的符号判定直线与抛物线的交点个数.规律总结：解决直线与圆锥曲线的交点个数，一般思路是联立直线与圆锥曲线的方程，整理得到关于或的一元二次方程，利用判别式的符号进行判定.注意点：当整理得到的一元二次方程的二次项系数为字母时，要注意讨论二次项系数是否为0.

试题解析：直线l的方程为，

联立方程组得．

①当时，知方程有一个解，直线l与该抛物线只有一个公共点．

②当时，方程的判别式为，

若，则或，此时直线l与该抛物线只有一个公共点．

若，则，此时直线l与该抛物线有两个公共点．

若，则或，此时直线l与该抛物线没有公共点．

综上：当， 或，此时直线l与该抛物线只有一个公共点；

当，此时直线l与该抛物线有两个公共点；

当或，此时直线l与该抛物线没有公共点．

考点：直线与抛物线的交点个数.