Question

如图，在直三棱柱ABC ­A₁B₁C₁中，AB＝AC＝5，BB₁＝BC＝6，D，E分别是AA₁和B₁C的中点．

（1）求证：DE∥平面ABC；

（2）求三棱锥E ­BCD的体积．

Answer

（1）证明见解析；（2）．

【解析】

试题分析：（1）取的中点，连接和，可以证明四边形是平行四边形，进而，再由直线和平面平行的判定定理可证明平面；（2）利用“等积变换”可得．

试题解析：（1）证明：如图，取的中点，连接，因为是的中点，所以，且由题意知，．而是的中点，所以所以四边形是平行四边形．所以又平面平面，所以平面

（2）因为，所以平面所以由（1）知，平面所以

考点：1、线面平行的判定定理；2、直线和平面所成角的定义及求法；3、利用等积变换求三棱锥体积．

【方法点睛】本题主要考查线面平行的判定定理和利用等积变换求三棱锥体积，属于难题．证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行；②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面．本题（1）是就是利用方法①证明的．