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已知f(x)=xlnx,g(x)=x3+ax2-x+2. (Ⅰ)求函数f(x)的...

已知f(x)=xlnx,g(x)=x3+ax2-x+2.
(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)对任意x∈(0,+∞),恒成立,求实数a的取值范围.

 

(1)(2)[-2,+∞) 【解析】试题分析:(1)先求出其导函数,再让其导函数大于0对应区间为增区间,小于0对应区间为减区间即可.(注意是在定义域内找单调区间.) (2)已知条件可以转化为a≥lnx﹣x﹣恒成立,对不等式右边构造函数,利用其导函数求出函数的最大值即可求实数a的取值范围. 【解析】 (1)f′(x)=lnx+1, 令f′(x)<0得:0<x<,∴f(x)的单调递减区间是(0,) 令f'(x)>0得:,∴f(x)的单调递增区间是 (2)g′(x)=3x2+2ax﹣1,由题意2xlnx≤3x2+2ax+1∵x>0, ∴a≥lnx﹣x﹣恒成立 ① 设h(x)=lnx﹣﹣,则h′(x)=﹣=﹣ 令h′(x)=0得:x=1,x=﹣(舍去) 当0<x<1时,h′(x)>0; 当x>1时,h'(x)<0 ∴当x=1时,h(x)有最大值﹣2 若①恒成立,则a≥﹣2, 即a的取值范围是[﹣2,+∞). 考点:利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.  
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考点分析:
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性格色彩学创始人乐嘉是江苏电视台当红节目“非诚勿扰”的特约嘉宾,他的点评视角独特,语言犀利,给观众留下了深刻的印象,某报社为了了解观众对乐嘉的喜爱程度,随机调查了观看了该节目的140名观众,得到如下的列联表:(单位:名)

 

总计

喜爱

40

60

100

不喜爱

20

20

40

总计

60

80

140

p(k2≥k0

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

k0

2.705

3.841

5.024

6.635

7.879

 

 

 

 

 

 

 

(Ⅰ)从这60名男观众中按对乐嘉是否喜爱采取分层抽样,抽取一个容量为6的样本,问样本中喜爱与不喜爱的观众各有多少名?
(Ⅱ)根据以上列联表,问能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为观众性别与喜爱乐嘉有关?(精确到0.001)
 

 

 

 

(Ⅲ)从(Ⅰ)中的6名男性观众中随机选取两名作跟踪调查,求选到的两名观众都喜爱乐嘉的概率.

附:

 

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已知命题P: ;  命题Q : ,使得,若命题是真命题,求实数的取值范围.

 

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