Question

已知实数满足，实数满足，则的最小值为_______________.

Answer

1

【解析】由ln(b+1)+a−3b=0,得a=3b−ln(b+1),则点(b,a)是曲线y=3x−ln(x+1)上的任意一点，

由2d−c =0,得c=2d ,则点(d,c)是直线y=2x 上的任意一点，

因为(a−c)2+(b−d)2表示点(b,a)到点(d,c)的距离的平方，即曲线上的一点与直线上一点的距离的平方，

所以(a−c)2+(b−d)2的最小值就是曲线上的点到直线距离的最小值的平方,即曲线上与直线y=2x 平行的切线到该直线的距离的平方。

，令y′=2，得x=0，此时y=0，即过原点的切线方程为y=2x，

则曲线上的点到直线距离的最小值的平方d2= =1.