Question

如图，点在以为直径的圆上， 垂直与圆所在平面， 为的垂心.

（1）求证：平面平面；

（2）若，点在线段上，且，求三棱锥的体积.

Answer

（1）见解析;（2）.

【解析】试题分析：（1）延长交于点，先证明，再证明平面，即平面；（2）由（1）知平面，所以就是点到平面的距离，再证明，从而利用棱锥的体积公式可得结果.

试题解析：（1）如图，延长交于点.

因为为的重心，所以为的中点.

因为为的中点，所以.

因为是圆的直径，所以，所以.

因为平面， 平面，所以.

又平面， 平面， ，

所以平面，即平面.

又平面，所以平面平面.

（2）【解析】
由（1）知平面，

所以就是点到平面的距离.

由已知可得， ，

所以为正三角形，

所以.又点为的重心，

所以.

故点到平面的距离为.

所以 .