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已知函数, (, 为自然对数的底数). (1)试讨论函数的极值情况; (2)证明...

已知函数 为自然对数的底数).

(1)试讨论函数的极值情况;

(2)证明:当时,总有.

 

(1)见解析;(2)见解析. 【解析】试题分析:(1)求定义域内的所有根;判断的根左右两侧值的符号即可得结果;(2)当时, ,研究函数的单调性,两次求导,可证明在内为单调递增函数,进而可得当时, ,即可得结果. 试题解析:(1)的定义域为, . ①当时, ,故在内单调递减, 无极值; ②当时,令,得;令,得. 故在处取得极大值,且极大值为, 无极小值. (2)证法一:当时, . 设函数 , 则.记, 则. 当变化时, , 的变化情况如下表: 由上表可知, 而 , 由,知, 所以, 所以,即. 所以在内为单调递增函数. 所以当时, . 即当且时, . 所以当且时,总有. 证法二:当时, . 因为且,故只需证. 当时, 成立; 当时, ,即证. 令,则由,得. 在内, ; 在内, , 所以. 故当时, 成立. 综上得原不等式成立.  
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