Question

2017高考特别强调了要增加对数学文化的考查，为此某校高三年级特命制了一套与数学文化有关的专题训练卷（文、理科试卷满分均为100分），并对整个高三年级的学生进行了测试.现从这些学生中随机抽取了50名学生的成绩，按照成绩为， ，…， 分成了5组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于50分）.

（1）求频率分布直方图中的的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；

（2）若高三年级共有2000名学生，试估计高三学生中这次测试成绩不低于70分的人数；

（3）若在样本中，利用分层抽样的方法从成绩不低于70分的三组学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人参加这次考试的考后分析会，试求两组中至少有1人被抽到的概率.

Answer

（1）见解析;（2）.（3）.

【解析】试题分析：（1）由各个矩形的面积和为可得，各矩形中点横坐标对应频率之积求和即可得平均数，设中位数为分，利用左右两边面积为可得中位数；（2）根据直方图可得50名学生中成绩不低于70分的频率，即可估计这次测试成绩不低于70分的人数；（3）利用列举法，确定基本事件的个数，即利用古典概型概率公式可求出两组中至少有1人被抽到的概率的概率.

试题解析：（1）由频率分布直方图可得第4组的频率为 ，

故.

故可估计所抽取的50名学生成绩的平均数为

（分）.

由于前两组的频率之和为，前三组的频率之和为，故中位数在第3组中.

设中位数为分，

则有，所以，

即所求的中位数为分.

（2）由（1）可知，50名学生中成绩不低于70分的频率为，

由以上样本的频率，可以估计高三年级2000名学生中成绩不低于70分的人数为.

（3）由（1）可知，后三组中的人数分别为15,10,5，故这三组中所抽取的人数分别为3,2,1.记成绩在这组的3名学生分别为， ， ，成绩在这组的2名学生分别为， ，成绩在这组的1名学生为，则从中任抽取3人的所有可能结果为， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共20种.

其中两组中没有人被抽到的可能结果为，只有1种，

故两组中至少有1人被抽到的概率为.

【方法点睛】本题主要考查古典概型概率公式，以及直方图的应用，属于难题，利用古典概型概率公式,求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先， …. ，再， ….. 依次…. … 这样才能避免多写、漏写现象的发生.