Question

设函数.

（1）求函数的最小值；

（2）记的最小值为，已知函数，若对任意，都有成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）（2）

【解析】试题分析：（1）先求函数导数，再求导函数在定义域上零点，列表分析单调性，确定最小值，（2）先化简函数,再求导数，转化研究函数，易得其为增函数，根据零点存在定理可得其有且仅有一个零点，进而可得，因此转化研究不等式，利用，化简得，解得，再由，得，即得，解得.

试题解析：解:

（1）由已知得， ，

令，得，

令，得

所以的单调减区间为，单调增区间为

从而.

（2）由（1）知，得

所以，令，则，

所以在上单调递增，

因为，且当时， ，所以存在，使，

且在上单调递减，在上单调递增，

因为，所以，

即

因为对于任意的，恒有成立，

所以，所以，

即，亦即，所以，

因为，

所以，又，所以，从而

所以，故.

点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.