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已知函数,其中实数. (1)若,求函数在上的最值; (2)若,讨论函数的单调性....

已知函数,其中实数

(1)若,求函数上的最值;

(2)若,讨论函数的单调性.

 

(1)最大值是5-2ln5,最小值为2﹣2ln2;(2)见解析 【解析】试题分析:(1)求出, 得增区间, 得减区间,从而求出函数在闭区间上的最值即可;(2)求出函数的导数,通过讨论 的范围,确定导函数的符号,从而求出函数的单调区间即可. 试题解析:(1)∵f(x)=x﹣2lnx,∴f′(x)=,令f′(x)=0,∴x=2.列表如下, x 1 (1,2) 2 (2,5) 5 f'(x)   ﹣ 0 +   f(x) 1 ↘ 2﹣2ln2 ↗ 5﹣2ln5   从上表可知,∵f(5)﹣f(1)=4﹣2ln5>0,∴f(5)>f(1), 函数f(x)在区间[1,3]上的最大值是5-2ln5,最小值为2﹣2ln2; (2)f′(x)=1+ - ==, ①当a>2时,x∈(0,2)∪(a,+∞)时,f′(x)>0;当x∈(2,a)时,f′(x)<0, ∴f(x)的单调增区间为(0,2),(a,+∞),单调减区间为(2,a); ②当a=2时,∵f′(x)= >0(x≠2),∴f(x)的单调增区间为(0,+∞); ③当0<a<2时,x∈(0,a)∪(2,+∞)时,f′(x)>0;当x∈(a,2)时,f′(x)<0, ∴f(x)的单调增区间为(0,a),(2,+∞),单调减区间为(a,2); 综上,当a>2时,f(x)的单调增区间为(0,2),(a,+∞),单调减区间为(2,a); 当a=2时,f(x)的单调增区间为(0,+∞); 当0<a<2时,f(x)的单调增区间为(0,a),(2,+∞),单调减区间为(a,2). 【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值,属于难题.利用导数研究函数的单调性进一步求函数最值的步骤:①确定函数的定义域;②对求导;③令,解不等式得的范围就是递增区间;令,解不等式得的范围就是递减区间;④根据单调性求函数的极值及最值(闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小).  
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高三年级3名男生和1名女生为了报某所大学,事先进行了多方详细咨询,并根据自己的高考成绩情况,最终估计3名男生报此所大学的概率都是,这1名女生报此所大学的概率是且这4人报此所大学互不影响。

(Ⅰ)求上述4名学生中报这所大学的人数中男生和女生人数相等的概率;

(Ⅱ)在报考某所大学的上述4名学生中,记为报这所大学的男生和女生人数的和,试求的分布列和数学期望.

 

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喜欢游泳

不喜欢游泳

合计

男生

 

10

 

女生

20

 

 

合计

 

 

 

 

已知在这100人中随机抽取1人,抽到喜欢游泳的学生的概率为

(Ⅰ)请将上述列联表补充完整;

(Ⅱ)判断是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关?

附:

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

 

 

 

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.(本小题10分)

在一次购物抽奖活动中,假设某10张券中有一等奖券1张,可获价值50元的奖品;有二等奖券3张,每张可获价值10元的奖品;其余6张没有奖,某顾客从此10张券中任抽2张,求:(1)该顾客中奖的概率;(2)该顾客获得的奖品总价值(元)的概率分布列和期望.

 

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某种产品的广告费用支出(万元)与销售额(万元)之间有如下的对应数据:

2

4

5

6

8

30

40

60

50

70

 

(1)求回归直线方程;

(2)据此估计广告费用为12万元时的销售额约为多少?

 

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复数满足,则的最小值为            

 

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