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已知函数. (I)若曲线上点处的切线过点,求函数的单调减区间; (II)若函数在...

已知函数.

(I)若曲线上点处的切线过点,求函数的单调减区间;

(II)若函数在区间内无零点,求实数的最小值.

 

(1);(2). 【解析】试题分析:(1)求出函数的导数,求得,解得的值,从而求出函数的单调减区间;(2)根据题意,把函数为零点转化为恒成立,令, ,根据函数的单调性求出的最小值即可. 试题解析:(1)因为,所以, 所以.又,所以,得,由,得,所以函数的单调减区间为. (2)因为当时, ,所以在区间内恒成立不可能.所以要使函数在区间内无零点,只要对任意的恒成立,即对恒成立,令,则.再令,则,所以在区间内为减函数,所以, 所以.于是在区间内为增函数,所以,所以要使恒成立,只要.综上,若函数在区间内无零点,则实数的最小值为. 考点:利用导数研究曲线上某点的切线方程;利用研究函数的单调性与最值. 【方法点晴】本题主要考查了导数的综合应用问题,其中解答中涉及到利用导数研究曲线上某点的切线方程、利用研究函数的单调性与最值,以及恒成立问题的求解等知识点的考查,着重考查了学生分析问题和解答问题的能力,以及转化与构造思想的应用,本题的解答中根据题设条件,构造新函数转化为利用新函数的单调性与最值是解答的关键,试题有一定的难度,属于中档试题.  
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