Question

已知抛物线的方程为： ，过点的一条直线与抛物线交于两点，若抛物线在两点的切线交于点.

（1）求点的轨迹方程；

（2）设直线的斜率存在，取为，取直线的斜率为，请验证是否为定值？若是，计算出该值；若不是，请说明理由.

Answer

（Ⅰ）， （Ⅱ）-2为定值．

【解析】（Ⅰ）由AB直线与抛物线交于两点可知，直线AB不与x轴垂直，故可设，代入，

整理得： ，方程①的判别式，故时均满足题目要求．

记交点坐标为，则为方程①的两根，

故由韦达定理可知， ．

将抛物线方程转化为，则，故A点处的切线方程为，

整理得，

同理可得，B点处的切线方程为，记两条切线的交点，

联立两条切线的方程，解得点坐标为，

故点P的轨迹方程为，

（Ⅱ）当时， ，此时直线PQ即为y轴，与直线AB的夹角为．

当时，记直线PQ的斜率，又由于直线AB的斜率为，

为定值．