Question

设函数， ， 为自然对数的底数.

（Ⅰ）若函数存在两个零点，求的取值范围；

（Ⅱ）若对任意， ， 恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）（2）

【解析】试题分析：（1）先求导数，讨论导函数符号变化情况：当时， ， 在上单调递减，最多存在一个零点，不满足条件；当时，先增后减， 在处取得最大值，所以，解得的取值范围；（2）先变量分离.再研究函数最小值： 在处取得最小值，则，

试题解析：

（Ⅰ）.

当时， ， 在上单调递减，最多存在一个零点，不满足条件；

当时，由解得，当时， ，当时， .

故在处取得最大值，

∵存在两个零点，∴， ，即的取值范围是.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，故只需， .

令， ，当时， ；当时， .

故在处取得最小值，则，即的取值范围是.

点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.