Question

设函数.

（1）试讨论函数的单调性；

（2）如果且关于的方程有两解， （），证明.

Answer

（1）见解析;（2）见解析.

【解析】试题分析：

(1)求解函数的导函数，分类讨论可得：

①若，则当时，数单调递减，当时， 函数单调递增；

②若，函数单调递增；

③若，则当时，函数单调递减，当时，函数单调递增.

(2)原问题即证明，构造新函数 ，结合新函数的性质和题意即可证得结论.

试题解析：

（1）由，可知 .

因为函数的定义域为，所以，

①若，则当时， ，函数单调递减，当时， ，函数单调递增；

②若，则当在内恒成立，函数单调递增；

③若，则当时， ，函数单调递减，当时， ，函数单调递增.

（2）要证，只需证.

设 ，

因为，

所以为单调递增函数.

所以只需证，

即证，

只需证 .（*）

又， ，

所以两式相减，并整理，得 .

把 代入（*）式，

得只需证，

可化为.

令，得只需证.

令（），

则 ，

所以在其定义域上为增函数，

所以.

综上得原不等式成立.